خرس قطبی با شرایط موجود چقدر زنده می ماند؟

مدرسه آنلاین – در یک زمستان سرد، خرس قطبی 88 قطعه گوشت دقیقاً به اندازه‌‌های1 و 2 تا 88 را در غاری ذخیره کرده است. او هر روز یکی از این قطعه گوشت‌ها را به صورت تصادفی (و با احتمال برابر) انتخاب می‌کند.

اگر اندازه‌ی گوشت، عدد فردی بود، آن را کاملاً می‌خورد. اگر زوج بود، آن را دقیقاً نصف می‌کند، یک نصف آن را می‌خورد و نصف دیگر را مجدداً در غار قرار می‌دهد. اگر گوشتی موجود نباشد، خرس می‌میرد. با این الگوریتم خرس ما چند روز می‌تواند دوام بیاورد؟

الف) 85 روز

ب) 87 روز

ج) 88 روز

د) 173 روز

هـ) 175 روز

 

 

 

 

پاسخ معمای المپیادی: خرس قطبی

گزینه (د) درست است.

مستقل از ترتیب انتخاب گوشت‌ها با تکه گوشت اولیه‌ای که بزرگ‌ترین توان 2اش K باشدK+1 روز زنده می‌ماند. پس ترتیب خورده‌ شدن گوشت‌ها هیچ تاثیری در تعداد روزهای زنده ماندن خرس ندارد.

شمارش را این‌گونه انجام می‌دهیم: 88 تکه گوشت اولیه داریم، به علاوه‌ی⌊88/2⌋ که تعداد گوشت‌های مضرب 2 هستند که نصف آن‌ها در ابتدا خورده و نصف آن‌ها باقی‌مانده، به علاوه‌ی ⌊88/4⌋ که تعداد گوشت‌های مضرب 4 هستند که دوبار نصف شده‌اند و هنوز باقی‌ مانده‌اند و به همین ترتیب تا تمامی گوشت‌ها تمام شوند که در نهایت برابر است با:

1+2+5+11+22+44+88=173