تخمین مرتبه‌ی بزرگی در فیزیک را پنج دقیقه‌ای یاد بگیر

امروز فضای مجازی و بستر اینترنت به یکی از مراجع مهم برای دانش آموزان تبدیل شده است تا با مراجعه به آن پاسخ بسیاری از پرسش های خود را بیابند.

تحریریۀ مدرسه آنلاین تلاش می‌کند تا در این بخش اطلاعات به روز و مستندی را پیرامون موضوعات درسی تهیه و در اختیار کاربران فضای مجازی قرار دهد.

امروز تخمین مرتبۀ بزرگی در فیزیک دهم را با هم می‌خوانیم.

تخمین چیست؟

گاهی برای شناخت بهتر یک موضوع و کمیت‌های وابسته به آن، نیاز داریم اندازه‌ای هرچند غیردقیق (تقریبی) را در علم یا حتی زندگی روزمره خود به کار ببریم. برای این کار از فرایند «تخمین» یا «برآورد» استفاده می‌کنیم. تخمین نه تنها در علم، بلکه در زندگی روزمره نیز روش مفیدی در حل برخی از مسائل است. از تخمین معمولاً در مواردی استفاده می‌کنیم که:

– دقت بالا در محاسبه‌ها، اهمیت چندانی نداشته باشد.

– زمان کافی برای محاسبه‌های دقیق نداشته باشیم.

– همه یا بخشی از داده‌های موردنیاز در دسترس نباشد.

روش تخمین

در بسیاری مسائل، دانستن مقدار تقریبی یک کمیت با ضریب 10 کافی است. به همین دلیل اعداد و جواب‌های تخمینی را گرد می‌کنند تا به صورت مضربی از 10 قابل بیان باشد. این مقدار را اصطلاحاً «تخمینِ مرتبه بزرگی» می‌نامند که به صورت نزدیک‌ترین توان 10 به مقدار واقعی کمیت بیان می‌شود. این نوع تخمین، در علوم و فیزیک و حتی زندگی روزمره کاربرد زیادی دارد. برای مثال، اگر فاصله واقعی دو شهر از یکدیگر 85 کیلومتر باشد، در فرایند تخمین ابتدا آن را به صورت km 101×5/8 می‌نویسیم. از آنجا که 5/8 بین 5 و 10 قرار دارد، آن را به صورت 10 گرد می‌کنیم. در نتیجه فاصله بین این دو شهر را به صورت km 102 ~ km 101×5/8=km 85 تخمین می‌زنیم.

در اینجا نماد ~ به معنای «از مرتبه» است (در مسائل ریاضی از این نماد معمولاً برای تقریباً مساوی استفاده می‌شود). به مثالی دیگر توجه کنید. فرض کنید جمعیت واقعی یک شهر 438 هزار نفر باشد. برای تخمین مرتبه بزرگی جمعیت این شهر ابتدا آن را به صورت 105×38/4 می‌نویسیم. از آنجا که ۳۸/4 کوچک‌تر از 5 است، آن را به صورت 1=100 گرد می‌کنیم. در نتیجه مرتبه بزرگی جمعیت این شهر را به صورت زیر تخمین می‌زنیم:

105 ~ 105×38/4=438000

خوب است بدانید:

انریکو فرمی (1954- 1901)، فیزیک‌دان بزرگ ایتالیاییِ قرن بیستم بود که بیشتر فعالیت‌های علمی خود را در آمریکا دنبال کرد. فرمی نخستین دانشمندی بود که تبدیل عنصرهای سنگین به عنصرهای سبک‌تر را بر اثر بمباران نوترونی بررسی کرد و برای این کار جایزه نوبل فیزیک سال 1938 را دریافت کرد. وی همچنین برای توانایی و علاقه‌اش در طرح و حل مسئله‌های تخمینی (از مرتبه بزرگی) مشهور است. به همین سبب در برخی کتاب‌ها به این‌گونه مسئله‌ها، مسئله‌های فرمی می‌گویند.

بررسی چند مثال و تمرین

مثال 1. مرتبه بزرگی حجم (برحسب لیتر) خونی را که قلب یک نفر در طول عمرش پمپ می‌کند تخمین بزنید. قلب در هر ضربان به طور میانگین 70 سانتی‌متر مکعب (cm3 70) خون به سرخرگ آئورت پمپ می‌کند.

پاسخ: برای حل این مثال لازم است اطلاعاتی را از قبل بدانید. این اطلاعات را می‌توانید از کتاب‌های درسی سال‌های قبل یا از طریق رسانه‌های دیگر به دست بیاورید.

– قلب یک شخص سالم در هر s 8/0 یک بار خون را به سرخرگ آئورت پمپ می‌کند که می‌توان آن را به صورت 1s گرد کرد یا برحسب مرتبه بزرگی به صورت s 100 نوشت.

– طول عمر میانگین انسان‌ها حدود 75 سال است که به صورت 102~101×5/7 سال گرد می‌کنیم.

– هر سال تقریباً برابر 31536000=3600×24×365 ثانیه است که می‌توان آن را به صورت 107×1536/3 ثانیه نوشت (برای سادگی و با تقریب خوبی یک سال را می‌توانید به صورت 107× π ثانیه در ذهن خود به خاطر بسپارید!) با توجه به تخمین مرتبه بزرگی و از آنجا که ۱5۳6/۳ کوچک‌تر از 5 است، یک سال را به صورت 107 ثانیه گرد می‌کنیم.

به این ترتیب، مرتبه بزرگی تعداد ضربان قلب یک انسان در طول عمرش را 109 ضربان تخمین می‌زنیم. با توجه به فرض مسئله، مقدار خونی که در هر ضربان به سرخرگ آئورت پمپ می‌شود را به صورت cm3 102 گرد می‌کنیم. بنابراین، حجم خون پمپ شده به سرخرگ آئورت برابر است با:

V=109×102cm3=1011cm3

از آنجا که هر لیتر برابر با 1000 سانتی‌متر مکعب (cm3 103) است، در نتیجه مرتبه بزرگی حجم خونی که قلب یک نفر در طول عمرش پمپ می‌کند برابر 108 لیتر است (از مرتبه 100 میلیون لیتر!).

مثال 2. اطراف کره زمین، لایه‌ای از هوا وجود دارد. به این لایه که از گازهای متفاوتی (78 درصد نیتروژن، 21 درصد اکسیژن و 1 درصد گازهای دیگر) تشکیل شده است، «جوّ زمین» گفته می‌شود (تصویر ۱). مرتبه بزرگی جرم جوّ زمین را تخمین بزنید. شعاع زمین را 6400 کیلومتر و فشار جو را در تمام نقاط سطح زمین 105 پاسکال فرض کنید.

پاسخ: برای برآورد مرتبه بزرگی جرم جوّ زمین، از رابطه استفاده می‌کنیم که در فصل فشار علوم سال نهم با آن آشنا شده‌اید. در این رابطه، به جای F، وزن جوّ زمین (mg) و به جای A، مساحت سطح زمین (4πR2) را قرار می‌دهیم که در آن R شعاع زمین است. به این ترتیب تخمین مرتبه بزرگی مساحت سطح زمین برابر است با:

A=4πR2=4×14/3(6400000m) 2

=14/5×1014‌‌m2~1015‌m2

همچنین تخمین مرتبه بزرگی وزن کل جوّ زمین برابر است با:

P=F/A==F=PA~ (105Pa) (1015m2) == F~1020N

به این ترتیب تخمین مرتبه بزرگی جرم کل جوّ زمین برابر است با:

F=mg~1020N==Þm~1019kg

منبع: سامان‌کتاب